بخش سوم: متغیر تصادفی و توابع توزیع احتمال

بخش سم: متغیر تصادفی تابع تزیع احتمال 1 تزیع احتمال Distribution( )Probability متغير تصادفي Variable( :)Random پارامتري است از يک پديده تصادفي که قابل سنجش است لي مقدار آن به صرت تصادفي خاهد بد. اناع متغير تصادفي گسسته : تعداد حالت ها مشخص )پرتاب سکه ضعيت احد تليدي( پیسته: داراي بينهايت مقدار ممکن )مقدار بار در سيستم قدرت سرعت باد...( براي هر متغير تصادفي د تابع تعريف مي شد: تابع تزيع احتمال Function( )Distribution يا تابع احتمال تجمعي: احتمال آنکه مقدار متغير تصادفي از )F(x)( کمتر يا مساي آن باشد. x تابع چگالي احتمال Function( )Density يا f(x) x F x 1 = P x x 1 = 1 f x dx x 1 P x 1 x x 2 = f x dx = F x x 2 2 F x 1 a + P x = a = f x dx a + f x dx = 1 2 1

اميد رياضي يا مقدار م انتظار Value( )Expected مقادير نمنه باري شدهي يک متغير تصادفي مي تاند متفات باشند اما اگر به تعداد زياد تکرار شد يک ميانگين خاهد داشت. بنابراين بيشترين احتمال براي مقدار يک متغير تصادفي )پيسته( ميانگين آن يا همان مقدار م انتظار آن است. n E x = x i p i i=1 + E x = xf x dx براي متغير تصادفي گسسته: براي متغير تصادفي پيسته: مثال( مقدار م انتظار در پرتاب يک تاس E x = 1 1 6 + 2 1 6 + 3 1 6 + 4 1 6 + 5 1 6 + 6 1 6 = 3.5 مثال: مقدار م انتظار مجمع د تاس E x = 1 + 1 1 36 + 1 + 2 1 36 + 6 + 6 1 36 = 7 يا براي پيشامدهاي مستقل: E x + y = E x + E y = 3.5 + 3.5 = 7 3 مثال: مقدار بيمه يک دستگاه 00 دالر حق بيمه آن 20 دالر )%2( است. اگر احتمال خراب شدن دستگاه 0/01 باشد سد م انتظار شرکت بيمه چقدر خاهد بد = 20 $ سد شرکت 0.99 = احتمال سالم بدن 980 $ = 00 = 20 سد شرکت 0.01 = احتمال خرابی = $ 0.01 980 + 0.99 20 = سد E تمرين: به اي چه مقدار از احتمال خرابي سد م انتظار شرکت بيمه صفر خاهد بد 4 2

اريانس انحراف استاندا: اميد رياضي يک متغير هيچ اطالعاتي از نحه پراکندگي مقادير متغير تصادفي م مطالعه حل مقدار ميانگين آن به دست نمي دهد. مثال: ميانگين پراکندگي نمرات يک کالس 7 9 8 9 14 13 17 14 15 16 20 کالس 1: کالس 2: شکل د منحني تزيع لذا کميت هاي ديگري با عنان "ممان" ها تعريف مي شند که متناظر با پراکندگي مقادير متغير تصادفي حل مقدار ميانگين آن هستند. M k = E[(x E x ) 2 ] ممان k ام: :)Variance( ممان دم يا اريانس M 2 = Var x = E[ x E x ) 2 = E x 2 2xE x + E 2 (x) = E x 2 E 2 (x) اريانس براي متغير گسسته: n Var x = [x i E(x)] 2 2 p i = x i p i E 2 (x) i=1 5 انحراف استاندا Deviation( σ x = Var(x) :)Standard n i=1 7 9 8 مثال: بررسي ميانگين پراکندگي نمرات کالس ها 9 14 13 17 14 15 16 20 کالس 1: کالس 2: ميانگين هر د کالس : /9 انحراف استاندا کالس 4/68 1: انحراف استاندا کالس 2/91 2: 6 3

اناع تزيع هاي م استفاده در سيستم هاي قدرت تزيع د جمله اي Distribution( )Binomial تزيع نرمال يا گسي Distribution( )Normal تزيع پاسن Distribution( )Poisson تزيع نمايي Distribution( )Exponential تزيع يبال Distribution( )Weibull off يا on د جمله اي: تزيع گسسته که براي ارزيابي ضعيت اجي سيستم که غالبا تزيع هستند به کار مي رد تعداد ترب هاي on off را نشان مي دهد. = 0, 1 x مقدار متغیر تصادفی احتمال یک بدن متغیر تصادفی = 1 x p, p x = احتمال صفر بدن متغیر تصادفی = 0 x q, E x = p 1 + q 0 = p Var x = E x 2 E 2 x = p p 2 = p 1 p = pq 7 اثبات مي شد که اگر يک متغير تصادفي داراي تزيع دجمله اي باشد تعداد تربهاي آن را مي تان با استفاده از رابطه زير به دست آ: p + q n = 1, تعداد آزمایشها = n n = 1 p + q = 1 n = 2 p 2 +2pq + q 2 = 1 n = 3 p 3 +3 p 2 q + 3pq 2 + q 3 = 1 n = 4 p 4 +4 p 3 q + 6 p 2 q 2 + 4 pq 3 + q 4 = 1 چهار شرط براي استفاده از رابطه باال )تزيع دجمله اي براي متغير تصادفي( تعداد آزمايش ها مشخص باشد در هر آزمايش صرفا د نتيجهي ممکن محتمل باشد. P q در همه آزمايش ها يکسان ثابت باشند. کليه آزمايش ها مستقل از هم باشند )نتيجه هيچکدام بر ديگري تأثير نگذا( مي تان نشان داد که در n آزمايش با متغير باينري: E x = np Var x = npq 8 4

5 :لاثم -فلا نييعت رادقم درم فارحنا درادناتسا ياهلصحم بيعم هنمن 5 يرادرب ييات يترص هک تملاس ره %95 لصحم.دشاب ب : هکنآ هنمن 2 رثکادح يرادرب لصحم بيعم دنشاب قچ تسا یبایزرا یداصتقا تیلباق نانیمطا يهاگ شيازفا تيلباق نانيمطا يم دنات رظن يداصتقا هيجت ريذپ اي هيجت ريذپان.دشاب :لاثم هنيزه ديلت لصحم 00 نامت تميق شرف نآ ( ترص ملاس ندب شرف 1500 )نديسر نامت بيعم ندب 0/01 لصحم دس :فلا درم 00 ديلت قچ لصحم تسا :ب رگا ناتب فرص اب هنيزه نامت يا ره لصحم تيلباق نانيمطا نآ ار لااب درب 0/995 دناسر ايآ هدش فرص هنيزه هيجت يداصتقا دراد نياربانب دس درم شرف لصحم لااب هتفر تسا به ( نازيم 7500 )نامت اما يارب شيازفا نيا دس 000 نامت هنيزه هدش اذل نيا هنيزه شزرا يفاک هتشادن هيجت يداصتقا درادن. 9 :نيرمت رگا اب فرص هنيزه ياه ريز ناتب تيلباق نانيمطا لصحم ديلت هدش ار شيازفا داد مادک نازيم فرص هنيزه هيجت يداصتقا دراد

مثال ( تأثير استفاده از عنصر ماد در تحليل اقتصادي ارزش قابليت اطمينان( در يک سيستم قدرت 4 ترانسفرماتر باري را تأمين مي کنند. احتمال عملک صحيح هر کدام 0/9 است. الف: اگر براي کار کن صحيح مجمعه جد حداقل 3 ترانسفرماتر الزم باشد احتمال عملک صحيح مجمعه چقدر است ب: اگر خسارت شکست در عملک )قطع بار( 20000 دالر باشد خسارت م انتظار چقدر است ج:اگر هزينه خريد هر ترانس جديد )مشابه ترانس هاي قبلي( 500 دالر باشد آيا اضافه کن ترانس هاي جديد به اين مجمعه تجيه اقتصادي دا )تا چند ترانس تجيه دا ( بنابراين در اي کاهش 784/8 دالر در خسارت م انتظار قطع بار فقط 500 دالر هزينه خريد ترانس جديد شد. لذا خريد 1 ترانس تجيه پذير است. تجه: به اي تعداد مختلف ترانسفرماترها: صفر ترانسفرماتر يک ترانسفرماتر د ترانسفرماتر سه ترانسفرماتر چهار ترانسفرماتر تمرين: اگر بار سيستم 00 مگاات ظرفيت ترانس ها 400 مگاات با احتمال خرابي 0/05 خسارت قطع بار $/MW 00 باشد هزينه خريد هر ترانس 400 مگااتي جديد 00 دالر باشد قابليت اطمينان بهينه سيستم )مقدار بهينه براي احتمال قطع بار( چقدر است اگر احتمال خرابي ترانس ها متفات باشد احتمال قع هر ضعيت با استفاده از رابطه زير تعيين مي شد p 1 + q 1 p 2 + q 2 p n + q n = 1 ظرفيت هاي غيرمتناظر: ابتدا همه حالت ها را در ترب با هم بررسي نمده سپس نتايج مشابه را با هم ي مي کنيم )احتمال حالت هاي يکسان با هم جمع مي شند( مثال: اگر ظرفيت ترانسفرماترها 200 300 500 مگاات با احتمال از کارافتادگي به ترتيب 0/1 0/05 0/1 باشد: 6

7 رياس عيزت ياه عيزت نساپ عيزت( )هتسسگ يارب يدادخر هک خرن عق λ نآ راب رب دحا نامز دشاب عق نآ دادخر x راب تدم نامز t ربارب تسا :اب p x t = (λt)x e λt x! تباث يم دش هک رادقم درم ( )طستم عق ريغتم يفداصتم اب عيزت نساپ ربارب تسا :اب E(x)=λt لاثم :1 ليبمتا هدنرذگ هارگرزب 0 ليبمتا تعاس ربع رفص 3 ليبمتا لحم ينيعم نيا هارگرزب تدم 30 هيناث قچ تسا 13 :2لاثم متسيس عيزت نيگنايم عق بيع لباک ره لاس يا ره 0 رتمليک لط لباک ربارب اب 0/5 راب بلطم تسا نييعت )رفص( )2( 3( )رتشيب بيع يارب رتمليک لط لباک تدم نامز 40.لاس :3لاثم هدننکديلت يلصحم ار ديلت يم دنک هک هنيزه تخاس ره دحا نآ 3 رلاد تميق شرف نآ رلاد رگا لصحم لط لاس شرف دسرن دياب مدعم.دش رب ساسا براجت يلبق ين راب لصحم رظندرم ريغتم يفداصت اب عيزت نساپ رادقم درم 8 دحا رادقم درم دس هدننکديلت رب ساسا هنلااس ديلت قچ لصحم تسا 14

تابع تزيع احتمال نمايي: )تابع تزيع پيسته( م استفاده در ارزيابي قابليت اطمينان اگر λ نرخ قع رخداد بر احد زمان باشد: چگالي احتمال قع رخداد در زمان : t f t = λe λt t F t = f t dt = 1 e λt 0 احتمال قع تا زمان t یا تابع احتمال تجمعی = مي تان ثابت ک که: E x = σ = 1 λ مثال 4 : احتمال سالم بدن قطعه اي به مدت 50 ساعت %90 است. اگر احتمال خرابي قطعه در زمان t از تابع نمايي پيري کند احتمال سالم بدن قطعه به مدت 0 15 ساعت چقدر است تابع چگالي احتمال نرمال )تابع تزيع پيسته( براي يک متغير تصادفي با مقدار متسط ƞ انحراف استاندا σ که داراي احتمال نرمال است: f x = 1 2 x η exp σ 2π 2σ 2 E x = η تزيع براي محاسبه احتمال قع متغير ميان د مقدار مشخص بايد انتگرال تابع چگالي احتمال بين آن د نقطه محاسبه شد که رش تحليلي براي آن جد ندا لذا بايد از رش هاي عددي يا جدال استاندا استفاده ک. براي استفاده از جدل منحني يکتايي به نام منحني استاندا تعريف مي شد: z = x η f z = 1 z2 exp σ 2π 2 z يک متغير تصادفي جديد با ميانگين صفر انحراف استاندا 1 است. 16 8

17 مثال 6 : تعداد 2000 عدد المپ با عمر ميانگين 00 ساعت رشنايي استاندا معادل 200 ساعت مجد است. الف: تعداد م انتظار المپ هاي سخته در 700 ساعت ال چقدر است انحراف ب : تعداد م انتظار المپ هاي سخته در فاصله زماني 900 تا 1300 ساعت چقدر است ج: پس از چه مدت رشنايي انتظار مي رد که % از المپ ها بسزند 18 9

:7لاثم %8 تلاصحم ديلت ي هدش تکرش بيعم ضرف يم دش هک ناتيم عيزت لامرن نانع بيرقت بسانم يارب عيزت هلمجد يا هدافتسا.درک بلطم تسا نييعت هکنآ هنمن يرادرب يقافتا لماش 500 ددع لصحم تکرش نيا تلاصحم بيعم ربارب دشاب :اب 50 رثکادح :فلا ددع ب : نيب 30 ات 50 ددع